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La mécanique newtonienne

 

Avant de passer en revue le contenu de la mécanique classique, il est indispensable de situer les hypothèses sur lesquelles celle-ci repose...

 

 

 

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>> Sommaire de cette page

 

 

 2. L'inertie

 3. L'énergie

 4. L'action et le principe de moindre action

  

 

 >> Autres pages : gravitation (intro Galilée Newton) - la relativité selon Einstein - mécanique quantique

                                    ondes de choc - théories - gravitation (conclusion)

 

 

 

 

 

>> L'espace et le temps en mécanique classique

 

 

Avant de passer en revue le contenu de la mécanique classique, il est indispensable de situer les hypothèses sur lesquelles celle-ci repose. La principale de ces hypothèses est certainement le statut qu’elle accorde à l’espace et au temps.

 

Le objets qui nous entourent se présentent à nous avec trois dimensions, c'est-à-dire qu’ils possèdent une longueur, une largeur et une hauteur. Certains pourraient compléter ce tableau en y ajoutant des objets à deux dimensions. En fait, dans la nature, de tels objets n’existent pas. Une feuille de papier, aussi mince soit elle ne possède pas moins une épaisseur qui constitue une extension, certes faible mais non nulle, dans une troisième dimension. Il en est de même des objets les plus fins que nous puissions imaginer ; leur épaisseur ne peut être inférieure au diamètre d’un atome. Un corps dont l’épaisseur serait inférieure à celle d’un atome n’aurait tout simplement pas d’existence physique.

 

Par ailleurs, la géométrie de ces objets répond aux célèbres axiomes d’Euclide dont voici les principaux  :

 

  1. Deux droites parallèles ne se coupent jamais.
  2. Une droite parallèle à une autre droite est parallèle à toutes ses parallèles.
  3. Une droite qui coupe une autre droite coupe également toutes ses parallèles.
  4. Etc…
  5.  

La mécanique classique attribue ces propriétés, non pas aux objets eux-mêmes, mais à l’espace qui les entoure, dans lequel ils sont plongés. Ainsi, les corps ont-ils une longueur, une largeur et une hauteur parce que l’espace possède trois dimensions. Cet espace est continu. La notion de continuité est un concept fondamental en mathématique et elle mérite que l’on s’y arrête pour la préciser.

 

Intuitivement, la continuité est une notion facile à saisir. Est continu, ce qui ne présente pas d’interruption, de rupture. Ainsi, d’un bout à l’autre un brin de fil à coudre est-il continu sans quoi, il faudrait dénombrer plus d’un brin de fil. Supposons maintenant que nous disposions d’une bobine d’un fil de longueur infinie et que nous la déroulions dans l’espace. Nous pourrions alors la dérouler sans fin le long d’une droite imaginaire s’étirant à l’infini. Puisque le fil est continu, on peut en conclure que la droite possède la même propriété : elle est continue. On en conclut de cette manière que l’espace est continu, c'est-à-dire qu’il ne présente aucun " trou ", aucune interruption. Il s’étend égal à lui même sans rupture de sa " structure ".

 

Cette image de la continuité que nous venons de donner est purement intuitive et ne pourrait guère satisfaire un mathématicien. La continuité est décrite de façon très rigoureuse par les mathématiques qui en donnent la définition suivante : si l’on considère un intervalle, aussi petit qu’on le souhaite, il est toujours possible

Enfin, dans l’espace, il est possible de se repérer. Ceci est trivial dans le monde qui nous entoure. Nous pouvons nous repérer par rapport à des points fixes, comme par exemple des carrefours dans une ville, des arbres marqués dans une forêt ou des étoiles. La propriété mathématique sous-jacente est un peu plus complexe que cette intuition naturelle. Les mathématiques nous apprennent que l’espace peut être orienté d’une part, et qu’il est muni d’une distance d’autre part. C’est la conjugaison de ces deux propriétés qui nous permettent de nous repérer dans l’espace. Les mathématiciens ont baptisé ce type d’espace un espace affine.

 

Figure 1 : Représentation de l'espace euclidien à 3 dimensions

 

Notons au passage que la nature affine de l’espace n’est pas une caractéristique triviale. Supposons que l’espace soit vide de toute matière. Il n’existe alors aucune étoile, aucun point distinctif nous permettant de fixer des directions et un point d’origine. Comment est-il possible dans ces conditions d’orienter l’espace et de mesurer des distances ? Cette question est fondamentale et nous verrons plus loin qu’elle se traduit en physique par un principe nommé principe de relativité. Il faut donc admettre que la nature affine de l’espace est postulée, c'est-à-dire posée comme hypothèse intrinsèque par la mécanique classique.

 

Résumons-nous, les propriétés de l’espace en mécanique classique sont donc les suivantes :

     

  1. Il est de dimension trois.
  2. Il est euclidien (sa géométrie répond aux axiomes d’Euclide).
  3. Il est continu.
  4. Il est affine ce qui a pour conséquence que les points dans l’espace peuvent être repérés par des coordonnées cartésiennes par rapport à une origine et selon des axes.

 

Qu’en est-il du temps ? Le temps a été un sujet d’interrogation pour les philosophes de tous les temps. Pourquoi le temps ne s’écoule-t-il que dans un seul sens ? Pourquoi l’écoulement du temps est-il régulier ? Et finalement, quelle est la nature essentielle du temps ? N’est il qu’une création de notre esprit ou bien possède-t-il une réalité propre ?

Ces questions, les esprits cartésiens du XVII siècle décidèrent qu’elles relevaient de la métaphysique et ils les évacuèrent de la mécanique classique. Ils abordèrent la question du temps sous un angle rationnel nouveau. Un corps donné se trouve à un instant tA en A et en un instant tB en B. Le temps qui s’est écoulé entre ces deux instants est mesuré par la différence Dt = tA - tB. La vitesse du corps en A à l’instant tA est VA, en l’instant tB, VB.

 

On le voit, la valeur des diverses grandeurs physiques (position, vitesse, force, température, etc.) varie avec le temps. La mécanique classique associe donc à chaque instant une valeur à chacune de ces grandeurs. La mécanique classique a donc réussi à réduire le temps à, ce que l’on appelle en mathématique, un paramètre. Toutes les questions métaphysiques qui entourent le temps sont définitivement évacuées.

 

Figure 2 : Le temps comme paramètre du mouvement

 

Avec un espace affine euclidien et un temps qui joue le rôle de paramètre, il est alors possible de mesurer des distances parcourues et de calculer des vitesses. La mécanique peut commencer !

 

On définit la vitesse moyenne comme le rapport de la distance parcourue par le temps écoulée. Nous pouvons alors écrire une formule mathématique simple :

  

 

v est la vitesse, x(t1) la position du corps à l’instant t1 et x(t2) la position du même corps à l’instant t2. Le signe D est une manière simplifiée de noter une différence. Dx vaut x(t2) - x(t1).

 

La vitesse instantanée est obtenue en réduisant l’intervalle de temps qui sépare la mesure des deux positions x(t1) et x(t2). Quand cet intervalle vaut zéro, la vitesse calculée est alors la vitesse instantanée. Vous pourriez objecter qu’il est impossible de diviser par zéro et vous auriez raison. Nous avons affaire là aux techniques du calcul différentiel que je ne développerai pas ici. Sachez seulement que si l’intervalle de temps devient de plus en plus petit, il en est de même pour la distance parcourue. Finalement, quand l’intervalle de temps tend vers zéro, nous divisons une quantité infiniment petite par une autre quantité infiniment petite. Paradoxalement, le résultat d’une telle division est fini !

 

En conclusion, s’il n’y avait qu’une seule chose à retenir de la manière dont l’espace et le temps sont représentés en mécanique classique, ce serait incontestablement leur caractère absolu. Une fois que l’on a fixé une origine dans l’espace tridimensionnel et un instant de référence (origine du temps, à ne pas confondre par le début du temps), toutes les points de l’univers peuvent être repérés de la même manière et toutes les horloges en tous points indiquent exactement la même heure au même moment.

 

 

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>> L'inertie

 

 
Qu’est-ce que le mouvement sinon le changement ? Changement de position, changement de conformation dans l’espace. Etudier le mouvement, c’est donc essayer de comprendre les lois qui commandent le changement dans l’espace. Or le mouvement peut prendre des formes très variées et la plupart du temps très complexes. Citons à titre d’exemple le mouvement extrêmement compliqué d’un boomerang qui, par sa façon de fendre l’air tout en tournant sur lui-même, revient à son point de départ. Il est toujours difficile d’étudier ce qui est compliqué. Sous cette " la palissade " se cache en vérité un principe majeur en physique et qui prit plusieurs siècles avant d’être formalisé clairement : plutôt que de s’attaquer à la complexité du changement il est préférable de se pencher sur la permanence du mouvement, ce qui ne varie pas, en d’autres termes les invariants. Nous verrons plus loin que les invariants nous renseignent beaucoup sur la nature des phénomènes.

 

Cette intuition guida les réflexions de Galilée sur la nature du mouvement. Considérons un objet ou plus généralement comme il est coutume de dire en physique, un corps, ayant une masse m et se trouvant dans le vide absolu et infiniment éloigné de tout autre corps. Cette seconde condition est très importante car elle permet d’isoler l’objet de toute influence extérieure comme la gravité que pourrait exercer tout autre masse. Supposons que ce corps soit animé à un instant de référence t0 d’une vitesse ayant une valeur v dans une direction donnée, a priori arbitraire.

 

Comment le mouvement de ce corps va-t-il évoluer dans le temps ? Attendons une seconde après t0. Les conditions auxquelles sont soumis notre objet n’ont pas changé. Il est toujours infiniment éloigné de tout autre corps. Il se sera déplacé de la distance v.t = v.1 = v mais finalement, nous n’avons aucun moyen de distinguer ce qui se passe en t0 et à t0+1s. La vitesse du corps est toujours égale à v et orientée dans la même direction. Cette expérience pourrait être reproduite à t0+2s, t0+3s, etc. et la même conclusion s’imposerait. Ainsi, si rien n’agit sur un corps, son mouvement n’a aucune raison de changer. Il est invariant.

 

Un corps isolé, plongé dans le vide et infiniment éloigné de tout autre corps conserve une vitesse constante en valeur et en direction.

 

Ce principe fondamental est appelé le principe d’inertie. Il fut énoncé pour la première fois par Galilée.

 

 

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>> L'énergie

 

 

Le concept d’énergie n’est pas contemporain de Newton mais beaucoup plus récent. Ce concept est aujourd’hui employé dans des domaines très variés qui dépassent de beaucoup le cadre strict de la mécanique classique.

 

Qu’est-ce que l’énergie ? Selon l’acception " populaire " du mot énergie il faut considérer plusieurs types d’énergie : l’énergie mécanique, l’énergie calorifique, l’énergie lumineuse, l’énergie électrique, etc. D’autre part, une forme d’énergie donnée se transforme facilement en d’autres formes d’énergie. Ainsi, l’énergie électrique se transforme-t-elle en énergie lumineuse dans les ampoules électriques, en énergie calorifique dans les radiateurs électriques, en énergie mécanique dans les moteurs électriques, etc. La multiplicité et la versatilité de la nature de l’énergie la rend difficile à cerner. Nous savons aujourd’hui que toutes ces formes d’énergie ne sont en fait que différentes manifestations d’une seule et unique grandeur physique mais il fallut attendre le XIX siècle et les travaux de Joule pour établir une relation entre le ralentissement du mouvement d’un corps sous l’effet de frottements et l’accroissement de la température à la surface de contact et l’interpréter comme la transformation de l’énergie mécanique en énergie calorifique.

 

Pour appréhender les principes mêmes de cette transformation, encore avait-il fallu identifier préalablement la chaleur comme une forme d’énergie. Or, pendant longtemps les physiciens crurent que la chaleur (et le feu) était un élément au même titre que l’air, l’eau et la terre, poursuivant en cela la vieille tradition aristotélicienne des quatre éléments fondamentaux. La théorie d’Aristote avait été modifiée pour rendre compte de nouvelles observations. Ainsi, l’élément qui était censé être responsable des phénomènes calorifiques avait-il été nommé le phlogistique. On doit à Lavoisier l’interprétation des phénomènes de combustion comme des réactions d’oxydation et donc la fin de la théorie du phlogistique. Le phlogistique éliminé, il restait à réinterprété la nature profonde de la chaleur, ce que Joule réalisa en montrant l’équivalence entre l’énergie mécanique et l’énergie calorifique.

 

A l’époque de Newton et de Leibniz, le concept et le mot " énergie " tels que nous les connaissons n’existaient donc pas. Cependant, Leibniz introduisit une grandeur physique qu’il baptisa " action pure " - dénommée aujourd’hui " travail " - qui devait jouer un rôle fondamental dans la construction du concept d’énergie.

 

Comme nous l’avons vu, les forces sont la cause du changement du mouvement. Pour déplacer un corps immobile, pour accélérer un objet mu par une vitesse uniforme ou pour en dévier la trajectoire, il faut lui appliquer une force. Sans l’application d’une force, le principe d’inertie nous dit que les corps restent immobiles s’ils sont immobiles ou conservent un mouvement uniforme avec la même vitesse indéfiniment.

 

Les forces agissent donc sur le mouvement des corps. L’action d’une force sur le mouvement d’un corps est proportionnelle aux grandeurs suivantes :

 

  • A l’inertie (ou quantité de mouvement) du corps. Plus l’inertie du corps est grande, plus l’action de la force pour changer son mouvement doit être grande.
  • A l’accroissement de la vitesse du corps après application de la force. Le résultat observable de l’action de la force se mesure en termes d’accroissement de la vitesse de ce corps. Si l’accroissement de la vitesse est petit cela signifie que l’action de la force aura été petite. Inversement si l’accroissement de la vitesse est grand, alors l’action de la force aura été grande.

 

Nous obtenons ainsi la formulation suivante de l’action d’une force sur le mouvement d’un corps :

 

Action de la force

=

(inertie) x (accroissement de la vitesse)

 

=

mv . Dv

 

=

mv . a. Dt

 

=

ma . v. Dt

 

=

F . Dx

 

Finalement, l’action d’une force sur le mouvement d’un corps est égale au produit de l’intensité de la force par la distance parcourue par le corps pendant l’application de la force. Comme nous l’avons indiqué plus haut, ce concept " d’action d’une force sur le mouvement " a été formulé pour la première fois par Leibniz. Il l’avait nommé " action pure ". Aujourd’hui, les physiciens l’appellent le " travail " de la force.

 

Il est possible de retrouver l’expression du travail d’une force par un autre raisonnement. Supposons que nous devions déplacer un objet très lourd, un très gros bloc de pierre par exemple. En poussant le bloc de pierre, nous parvenons à le déplacer. Les frottements du bloc de pierre contre le sol sont si élevés que le mouvement s’arrête dès que nous cessons de pousser. Dans un tel exemple, nous pouvons exprimer l’action sur le mouvement de la force de poussée comme l’effort qu’il a fallu déployer pour vaincre les frottements. Cet effort dépend directement de :

 

  • L’intensité de la force. Plus la force est intense, plus l’effort déployé est grand.
  • La distance parcourue. Plus la distance parcourue est grande, plus l’effort aura été important. Inversement un déplacement sur une plus courte distance aura requis un effort moins intense (tout le monde a déjà vécu ce genre d’expérience lors d’un déménagement !)

 

Finalement nous obtenons la formulation suivante de l’action de la force :

 

Action de la force

=

(intensité de la force) x (distance parcourue)

 

=

F . Dx

 

 

Energie cinétique, énergie potentielle et énergie totale

 

Considérons un engin spatial animé d’un mouvement uniforme dans l’espace intersidéral, donc dans le vide absolu et éloigné de tout astre. Imaginons maintenant que tout à coup, ce même engin spatial traverse une région de dimension finie et remplie d’un gaz de forte densité. Inévitablement, notre fusée va perdre de la vitesse. Sa vitesse chute de la valeur vi (i pour initiale) à vf (f pour finale). Dans le même temps, des physiciens situés dans cette région particulière de l’espace ont mesuré une augmentation de la température du gaz. Ils en concluent que la perte de vitesse de la fusée, due aux frottements du gaz contre la carlingue de l’engin spatial (frottements de même nature que ce que l’on appelle sur Terre la résistance de l’air), est responsable de l’accroissement de la température du gaz. La fusée a perdu de l’énergie liée à son mouvement qui s’est transformée en énergie calorifique. L’énergie liée au mouvement s’appelle l’énergie cinétique.

 

 

Figure 3 : Expérience illustrant l'énergie cinétique

 

Comment formuler l’énergie cinétique ? Avant d’aller plus loin, il est primordial de noter que ce qu’ont mesuré les physiciens ce n’est pas l’énergie de la fusée avant et après la traversée du nuage de gaz, mais la quantité d’énergie qu’a perdue la fusée. Cette quantité est la différence entre l’énergie avant et après la traversée du gaz. Cette remarque est très importante car elle montre que l’énergie absolue ne peut être connue. Seule une différence d’énergie peut être mesurée. Nous dirons que seule une différence d’énergie a une signification physique. Nous voyons donc que l’énergie n’est pas un concept absolu mais relatif.

 

La question posée précédemment peut être formulée comme suit : de quels paramètres dépend la quantité d’énergie perdue par la fusée ?

 

  • De la masse de la fusée. En effet, indépendamment de la taille de la fusée, pour une même " quantité " de frottements, la quantité d’énergie perdue sera d’autant plus grande que la masse de la fusée est grande.
  • De la perte de vitesse de la fusée. En effet, la quantité de chaleur transférée au gaz - et donc la quantité d’énergie perdue par la fusée - sera d’autant plus grande que la fusée aura été ralentie.
  • De la vitesse même de la fusée. En effet, plus la fusée est rapide et plus la quantité d’énergie qu’elle perd sous forme de chaleur, indépendamment de sa taille, est grande.

 

Nous pouvons donc maintenant formuler la quantité d’énergie perdue :

 

Quantité d’énergie

=

(masse) x (vitesse) x (perte de vitesse)

 

Mais quelle valeur donner à la vitesse puisque celle-ci décroît en permanence et ne possède donc pas une valeur fixe ? Il faut donc revoir notre raisonnement.

La difficulté rencontrée précédemment vient du fait que, dans l’exemple choisi, la vitesse de la fusée, lorsque celle-ci entre dans le nuage de gaz, n’est pas constante mais diminue continûment. Il n’est donc pas possible de fixer une valeur à la vitesse car celle-ci varie en permanence. La solution à ce problème consiste à découper notre expérience en une succession de micro expériences pendant lesquelles la vitesse varie très peu, si peu que nous dirons que la variation est infinitésimale et la notons dv.

 



Figure 4 : Décomposition d'une expérience en micro expériences successives

 

Nous pourrons alors prendre la valeur initiale de la vitesse comme valeur dans notre équation précédente car la variation de vitesse lors d’une micro expérience est négligeable (infiniment proche de zéro). Nous pouvons alors écrire :

 

Quantité d’énergie

=

(masse) x (vitesse) x (variation infinitésimale de vitesse)

 

=

m.v . dv

 

Pour obtenir la quantité totale d’énergie perdue par la fusée pendant la traversée du nuage de gaz il suffit d’additionner la totalité des quantités d’énergie perdues lors de chacune des micro expériences successives. Or pour chaque micro expérience, la quantité d’énergie perdue est exactement égale à mv.dv, soit la surface d’un rectangle de longueur mv et de largeur dv. La quantité totale d’énergie perdue est alors représentée par la surface de tous les rectangles comme le montre la figure suivante.

 

 

 

Quand on fait tendre dv vers des valeurs infinitésimales, c'est-à-dire infiniment proches de zéro, la somme de la surface de tous les rectangles revient à évaluer la surface du trapèze [A,vi,vf,B].

 



 Figure 5 : Calcul de la somme des contributions infinitésimales de l'énergie cinétique

 

La surface de ce trapèze peut être facilement calculée. Elle vaut :

 

Quantité d’énergie perdue

=

surface du triangle [O, A, vi] – surface du triangle [O, B, vf]

 

=

 

=

 

D’où l’on tire le résultat que l’énergie cinétique de la fusée au moment où elle se mouvait à la vitesse vi est

 

 

(en vérité, il faut lui ajouter un nombre constant de valeur inconnue car comme nous l’avons dit au début de cette section, l’énergie n’est pas une grandeur absolue. Par commodité les physiciens ont postulé la valeur de cette constante à 0 !).

Nous venons d’appliquer les principes du calcul différentiel !

 

Il existe une autre façon de parvenir au même résultat en appliquant un théorème mathématique très ancien - théorème du degré moyen - que l’on doit à Nicole Oresme au XIV siècle. Ce théorème démontre qu’une " grandeur intensive uniformément variée, entre deux degrés extrêmes, produit le même résultat global qu’une grandeur intensive uniforme dont le degré constant serait égal au degré moyen de la précédente ". Dans notre cas, la grandeur intensive est la vitesse. Elle varie bien uniformément du " degré " vi au " degré " vf. Son effet est identique à une vitesse dont la valeur serait

 

.

 

La perte d’énergie cinétique est alors CQFD !

 

 

Considérons maintenant un objet situé à une distance proche de la surface de la Terre et qui tombe en chute libre. Il tombe car il est soumis à l’attraction gravitationnelle de la Terre. La gravitation terrestre a pour effet d’imprimer une force à cet objet - le poids - dirigée vers le centre de la Terre et dont l’intensité est donnée par la loi universelle de la gravitation de Newton. Soit P le poids de cet objet. Nous sommes en terrain connu.

 

Laissons tomber l’objet d’une hauteur h. Le travail réalisé par le poids est alors égal à P.h. Après une chute libre sur une hauteur h, l’objet aura acquis une certaine vitesse et donc son énergie cinétique aura augmenté. D’après ce que nous avons vu précédemment, l’accroissement de l’énergie cinétique est égale au travail réalisé par le poids.

 

Nous avons donc :

 

L’attraction terrestre a donc apporté de l’énergie à l’objet, sous forme cinétique, tout au long de sa chute libre. Cette énergie a été communiquée à l’objet au travers de ce qui fait agir l’attraction gravitationnelle. Cette entité physique qui permet à l’attraction gravitationnelle d’agir en tout point de l’espace n’est pas matérielle car la gravitation s’applique également hors de l’atmosphère terrestre, dans le vide le plus total, c'est-à-dire en l’absence de matière. Cette entité physique, les physiciens l’appellent un champ. Mais laissons pour l’instant la notion de champ, nous y reviendrons ultérieurement.

 

L’expérience de la chute d’un objet nous enseigne une chose importante : un champ gravitationnel fournit de l’énergie à un corps qui s’y trouve plongé, énergie qui est ensuite transformée en énergie cinétique pendant la chute. Si l’on maintient un objet à une certaine hauteur au dessus du sol, l’énergie fournie par le champ gravitationnel ne produit aucun mouvement et pourtant, dès que nous lâchons l’objet, il tombe et acquiert par ce mouvement de l’énergie cinétique. L’énergie communiquée par le champ gravitationnel n’est donc pas de nature proprement cinétique, mais plutôt potentiellement cinétique, c'est-à-dire qu’elle se transforme en énergie cinétique mais n’est pas elle même le résultat d’un mouvement. Les physiciens la nomment énergie potentielle.

 

Comment évaluer l’énergie potentielle d’un corps se trouvant dans un champ gravitationnel ?

 

Comme nous l’avons vu, l’énergie potentielle d’un corps se transforme au cours de sa chute dans un champ gravitationnel en énergie cinétique. Si l’on considère un corps situé à une hauteur h de la surface de la Terre, en tombant il va acquérir une énergie cinétique égale au produit de son poids par la hauteur soit P.h (se reporter au début de cette section). Nous en concluons que l’énergie potentielle d’un corps situé à une hauteur h est égale à P.h.

 

Pour approfondir la formulation de l’énergie potentielle, nous allons faire un peu de mathématiques.

 

Ep = - P.h = - P.r où r est la distance du sol jusqu’à l’objet (ce qui est bien la même chose que la hauteur !)

 

or

 

d’où :

 

Cette équation est composée de trois termes jouant un rôle distinct :

 

  • un terme qui dépend du corps lui même : sa masse m
  • un terme qui dépend de la position du corps par rapport à la Terre : la distance r
  • un terme qui dépend de la Terre elle même : GM

 

Les physiciens ont eu l’idée de séparer clairement ce qui provient uniquement du corps plongé dans le champ gravitationnel de ce qui dépend de l’environnement (la masse de la Terre, la position, la constante gravitationnelle). Ils ont obtenu de cette façon la relation qui est, à plusieurs égards, très intéressante :

 

Ep = mU(r) où U(r) est une fonction qui dépend uniquement de la distance entre le corps et la Terre.

 

U(r) s’appelle le potentiel gravitationnel.

 

L’intérêt de la notion de potentiel réside dans le fait que c’est une grandeur physique qui dépend uniquement du corps qui est à l’origine du champ gravitationnel et de la position par rapport à ce corps. Le potentiel permet donc de calculer à tout endroit dans l’espace l’intensité de la force gravitationnelle. Le potentiel est donc très intimement lié à l’entité qui est responsable de l’action de la force gravitationnelle et que nous avons appelé le champ gravitationnel.

 

Nous verrons que les notions de champ et de potentiel apparaîtront dans d’autres contextes comme celui de l’électromagnétisme.

 

D’un point de vue mathématique, la force gravitationnelle qui agit sur un corps peut être dérivée de l’énergie potentielle. On peut très facilement montrer que la force gravitationnelle n’est rien d’autre que la variation de l’énergie potentielle par rapport à la distance (tout comme la vitesse est la variation de la position par rapport au temps) ce que l’on écrit comme suit, en utilisant le calcul différentiel :

 

 

Prenons un exemple très simple : une pierre que l’on jette. En propulsant la pierre, nous lui communiquons de l’énergie cinétique. D’autre part, cette pierre se trouve dans le champ gravitationnel de la Terre et possède donc aussi une quantité d’énergie potentielle proportionnelle à la hauteur à laquelle elle se trouve. Ces deux énergies s’ajoutent. En effet, l’énergie potentielle initiale va se transformer en énergie cinétique pendant au fur et à mesure que la pierre se rapproche du sol. L’énergie totale de la pierre est donc la somme de son énergie potentielle et de son énergie cinétique. Cette somme, les physiciens l’appellent aussi l’hamiltonien. L’hamiltonien d’un corps n’est rien d’autre que son énergie totale.

 

 

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>> L'action et le principe de moindre action

 

 

La mécanique de Newton exprime des propriétés locales du mouvement. Cette assertion mérite quelques explications pour s’en convaincre.

 

Les lois de Newton établissent des relations entre des forces et le mouvement que génère immédiatement cette force. L’équation F = ma nous permet de déduire l’accélération d’un corps soumis à une force F. La connaissance de l’accélération permet de calculer le mouvement à chaque instant. Cette démarche consiste à décomposer la trajectoire en mouvements infinitésimaux puis à " recoller " les morceaux ainsi obtenus afin d’obtenir la trajectoire complète. Dans la pratique, " recoller " les morceaux revient à résoudre une équation différentielle. C’est en cela que l’on peut dire que la mécanique de Newton décrit le mouvement localement.

 

En 1744, Pierre-Louis Moreau de Maupertuis découvrit une propriété fondamentale du mouvement d’un corps dans un champ de force (le champ gravitationnel par exemple). Maupertuis constata que parmi tous les chemins possibles entre deux points donnés, la nature choisit celui dont une certaine grandeur physique, qu’il nomma l’action, a une valeur minimale. Ce principe fut baptisé principe de moindre action.

 

Figure 6 : Principe de moindre action.

 

 

L’action est minimale sur la trajectoire physique

 

Avant d’exprimer l’action, notons que cette découverte est d’une importance capitale. Ce que nous dit le principe de moindre action c’est que la trajectoire physique entre deux points, c'est-à-dire le mouvement réellement adopté par un corps, est celle pour laquelle l’action est minimale. Il est donc possible de décrire le mouvement sans utiliser les lois de la mécanique de Newton. De plus, à la différence de la mécanique de Newton qui fournit des équations locales du mouvement, le principe de moindre action permet d’établir des équations " globales " qui embrassent la totalité du mouvement en une seule fois, comme un tout où chaque point est indissociable des autres pour constituer la trajectoire de moindre action. En mathématiques, des équations de ce type sont dites intégrales.

 

L’approche de Maupertuis a permis de reconstruire toute la mécanique sur des bases totalement nouvelles. Plus tard, Lagrange et Hamilton montrèrent que cette nouvelle formulation de la mécanique était absolument équivalente à celle de Newton, tout en étant plus générale.

 

Dire que l’action est minimale pour le chemin emprunté par la nature signifie que si l’on trace la courbe qui représente l’action pour chacun des parcours possibles, cette courbe présente un minimum pour le chemin physique réellement emprunté par la nature.

 

Figure 7 : Variation de l'action en fonction des chemins possibles

 

Supposons qu’un corps dévie très légèrement, du parcours physique (celui de moindre action), alors l’action étant minimale sur le chemin initial, la variation de l’action est infinitésimale car à l’endroit d’un minimum (ceci est également vrai pour un maximum) la courbe est quasiment plate.

 

Figure 8 : Variation autour d'un point quelconque d'une courbe et autour d'un minimum

 

Si la déviation par rapport à la trajectoire physique est elle même infinitésimale, alors la variation de l’action devient nulle ! Le principe de moindre action peut alors s’exprimer ainsi :

 

La variation de l’action est nulle pour toute déviation infinitésimale du chemin physique
C’est l’énoncé " variationnel " du principe de moindre action.

 

 

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