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                                    ondes de choc - théories - gravitation (conclusion)

Introduisons tout d'abord la théorie de la relativité restreinte. Elle a été proposée par Albert Einstein, brillant physicien allemand, en 1905. Jusque là, et conformément à ce qui semble «normal» pour nous, les lois de relativité de Galilée s'appliquent. Voyons tout d'abord brièvement ce que sont ces lois:

Loi d'inertie: tout corps qu'on accélère a tendance à retourner à un état dit «stable», soit en mouvement à une vitesse constante, sans accélération, ou bien arrêté (vitesse nulle si on veut).

 

Loi de la conservation de la quantité de mouvement: quand deux corps se frappent, l'énergie est transmise de l'un à l'autre, selon leur vitesse et leur masse. C'est ce qui régit les interactions comme les collisions entre deux boules de billard, par exemple.

 

Loi de conservation de l'énergie: il n'y a aucune perte d'énergie, mais bien transformation sous diverses formes. Par exemple, lorsqu'on lance un objet en l'air, on lui confère de l'énergie cinétique, mais celle-ci est peu à peu convertie en énergie potentielle. Au sommet de sa montée, l'objet redescent, et l'énergie potentielle est reconvertie en énergie cinétique.

 

Bien que ces lois semblent un peu abstraites, elles définissent ce que nous entendons comme la physique normale du monde qui nous entoure, et elles correspondent à notre perception intuitive de l'Univers. Cependant, deux expériences vont créer un dilemme important dans le monde scientifique, mettant en doutes ces principes fondamentaux: les expériences de Fiseau et Michelson-Morley sur l'éther.

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Depuis Galilée (1564-1642), notre perception du monde qui nous entoure était gouvernée par les lois de relativité dites «classiques». Mais une découverte a établi les fondements de ce qui a mené, plus tard, à la relativité restreinte d'Einstein.

On pense principalement à l'apparition de la théorie de l'électromagnétisme de Maxwell-Lorentz. Celle-ci a mené à une nouvelle compréhension des ondes électromagnétiques comme la lumière, ce qui est fondamental, puisque, comme on pourra voir plus loin, la lumière est à la base même de la relativité. Ainsi, cette nouvelle théorie a mené à plusieurs expériences, dont on retient celles de Fiseau et de Michelson-Morley (les deux équipes ayant découvert à peu près en même temps le phénomène). Leur expérience, assez spéciale, visait à démontrer la présence de l'éther, cette substance que les physiciens ont imaginé pour expliquer la propagation de la lumière. Ainsi, selon eux, comme le son est une onde qui se propage dans l'eau et l'air, la lumière est aussi une onde, mais dans quoi se propage-t-elle? Elle passe du Soleil à la Terre, donc par l'espace... donc ils ont supposé l'existence d'un éther, une sorte de substance invisible qui engloberait tout l'univers. Pourquoi pas. Bref, leurs expériences ont plutôt montré, à leur grand étonnement, que cet éther n'existait pas.

Enfin, ces deux expériences ont démontré un phénomène plutôt bizarre: la vitesse de la lumière semble toujours la même, peu importe comment on tente de la forcer à aller plus vite ou plus lentement. Plusieurs scientifiques, perplexes, ont alors tenté de trouver l'erreur dans l'expérience, mais en vain. Le problème est qu'une vitesse constante, absolue, gêne beaucoup; en fait, cette conclusion mène directement à une contradiction de la théorie de la relativité utilisée à l'époque.

Les physiciens se trouvèrent alors devant les deux éventualités suivantes :

Soit les lois de la physique ne sont pas les mêmes d’un référentiel galiléen à un autre, et il devient très gênant de constater que ce qui a été vérifié de nombreuses fois pour le domaine si vaste de la mécanique n’est plus vrai pour les phénomènes électromagnétiques, et donc la physique en général. En d'autres termes, cela revient à dire que les ondes mécaniques (e.g. le son) se comportent de façon radicalement différentes des ondes électromagnétiques (e.g. la lumière).

 

Soit la mesure du temps dépend du référentiel dans le quel elle est faite. Mais c’est une hypothèse extrêmement audacieuse, car elle attaque « nos convictions profondes ». En effet, cela revient à dire que parce qu’une personne est en mouvement et seulement pour cela, elle rajeunirait (ou vieillirait) par rapport à une personne à l’arrêt.

La deuxième hypothèse paraît bizarre en effet. Pourtant, c'est bien la bonne. On peut voir maintenant l'immense gouffre qui séparait les scientifiques du début du siècle d'Einstein, dont les idées ne seront vraiment acceptées qu'après la première guerre mondiale, lorsque des physiciens britanniques profiteront d'une éclipse de Soleil pour vérifier un phénomène prédit avec précision par Einstein.

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Dans « Annalen der Physik t XVII, 1905 », Einstein écrit  : « pour tous les systèmes de coordonnées pour lesquels les équations mécaniques restent valables, les lois électromagnétiques et optiques gardent également leur valeur (…). Nous voulons élever cette conjoncture [dont le contenu sera appelé dans ce qui suit « principe de relativité »] au rang d’une hypothèse et introduire en outre la supposition, qui n’est qu’en apparence incompatible avec ce principe, que la lumière se propage toujours dans le vide à une certaine vitesse C indépendante de l’état de mouvement de la source lumineuse ». 

Ainsi, deux postulats sont énoncés :

1^er postulat (dit principe de relativité) : toutes les lois de la physique sont les mêmes dans les référentiels galiléens. En effet, nous savions que les lois de la mécanique gardaient leur valeur dans les systèmes de coordonnées dits galiléens et Einstein généralise cette hypothèse en l’appliquant à toutes les lois de la physique (mécaniques, électrodymaniques et optiques);

 

2^ème postulat : la vitesse de la lumière dans le vide est la même quel que soit le référentiel dans lequel on l’observe. Ceci est très nouveau, très surprenant et s’oppose formellement à l’hypothèse de temps absolu comme nous le verrons plus tard.

Les deux postulats de la relativité restreinte sont la base de la théorie de la relativité restreinte et à partir de ceux-ci nous allons dériver toutes les équations nécessaires à la compréhension des phénomènes physiques observables. Avant de faire cette dérivation, il est bon de rappeler que cette théorie et ces postulats ne sont valables que pour des référentiels galiléens, c’est-à-dire des référentiels en mouvement de translation rectiligne uniforme les uns par rapport aux autres. C’est d’ailleurs pourquoi on l’appelle théorie de la relativité restreinte. La théorie de la relativité générale, développée aussi par Einstein, se rapporte à des référentiels en accélération les uns par rapport aux autres et nous ne l’étudierons pas ici.

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Une des conséquences les plus surprenantes de la transformation de Lorentz, et donc de la relativité restreinte, est ce qu’on a appelé la dilatation du temps. 

Une horloge d’un référentiel R₂ est, par définition, un système périodique fixe dans R₂ donnant des signaux réguliers séparés par des laps de temps égaux D t₂ = t_2b – t_2a.

Le laps de temps D t₂, période de l’horloge dans le référentiel dans lequel elle est au repos, est appelé période propre de l’horloge.

Déterminons le laps de temps D t mesuré dans R₁ séparant deux signaux consécutifs émis par l’horloge se trouvant en mouvement de translation uniforme par rapport à R₁. La transformation de Lorentz permet d’écrire (on utilise la transformation inverse [9], car c’est D t₁ que nous calculons et D t₂ que nous connaissons):

Or, on remarque que dans R₂ l’intervalle de temps D t₂ = t_2b – t_2a est mesuré sur une seule horloge, donc en un seul lieu et D x₂ = x_2b – x_2a = 0. On obtient la relation bien connue:

[10]

Cela revient à dire que la période R₁ paraît plus longue que la période propre : on dit qu’il y a dilatation du temps. Nous remarquons tout de suite que D t₁ n’est pas un temps propre puisqu’il mesure un intervalle de temps d’une horloge en mouvement et la mesure ne se fait donc pas en un seul lieu comme la mesure d’un temps propre. En effet, si nous la calculons, par la transformation de Lorentz, les coordonnées des événements x_1a, t_1a et x_1b, t_1b dont l’intervalle temps est D t₁ de la relation [10], on obtient :

[11]

et, même si x_2b = x_2a, x_1a ¹ x_1b puisque t_2a ¹t_tb.

Il faut bien voir aussi que, conformément au principe de la relativité (invariance des lois de la physique), cette dilatation du temps est réciproque. Si un observateur de R₂ examine une horloge de R₁, il arrivera à la conclusion que la période de R ₁ est dilatée.

En effet, si une horloge de R₁ a une période propre D t₀, deux signaux consécutifs émis par cette horloge sont perçus par R₂ comme ayant un intervalle de temps D t₂ donné par (transformation de Lorentz) :

 Puisque x_1a = x_1b dans R₁ :

On obtient le même résultat que celui donné par l’équation [10]. Il n’y a pas de contradiction, car dans les deux cas D t₂ et D t₀ sont des temps propres.

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Une autre conséquence de la transformation de Lorentz est la contraction des longueurs. La longueur propre d’une règle est, par définition, la longueur de cette règle mesurée dans le référentiel galiléen où cette règle est au repos. 

Comment mesurer dans un référentiel R₁ la longueur d’une règle en mouvement ? En réfléchissant à l’exemple d’un train en mouvement, on voit qu’il faut déterminer dans R₁ les positions des extrémités du train au même instant t₁ de R₁. Il ne nous viendrait pas à l’idée de repérer à un instant la position de la locomotive et, plus tard, la position du wagon de queue. 

Ainsi, considérons deux référentiels R₁ et R₂ dans les conditions de la transformation de Lorentz. Une règle de longueur propre L₂ est fixe dans R₂ et disposée suivant O₂x₂ : D x₂ = L₂. Pour connaître la longueur L ₁ = D x₁ de cette règle dans R₁, il faut déterminer la différence des abscisses de ses extrémités au même instant t₁ de R₁ à l’aide de la transformation de Lorentz.

donc :

On obtient:

    [12]

Cela exprime la contraction des longueurs par le fait qu’une longueur mesurée en mouvement sera plus courte qu’une longueur propre. 

L₁ n’est pas une longueur propre et elle est effectuée en repérant simultanément au même instant t₁ de R₁ les extrémités de la règle à mesurer. On peut remarquer par la transformation de Lorentz que le mesure de L₂ (la longueur propre) n’est pas une mesure simultanée. En effet :

Même si t₁ est le même dans R₁, dans R₂ les temps sont différents (t_2a ¹ t_2b) parce que les positions dans R₁ sont différentes et x_1a ¹ x_1b. 

On remarque aussi que, comme pour la dilatation du temps, il y a réciprocité du phénomène, conformément au principe de relativité. Autrement dit, une règle de R₁ de longueur propre L₁ dirigée suivant O₁x ₁ apparaîtra contractée dans R₂ où on lui attribuera la longueur L₂ :

Enfin, d’après les relations y₂ = y₁ et z ₂ = z₁ de la transformation de Lorentz, il résulte immédiatement que la longueur d’une règle placée perpendiculairement à la direction du mouvement est la même dans les deux référentiels.

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Dans un référentiel galiléen R₁, un point est caractérisé par les coordonnées d’espace (x₁, y_1, z₁) et la transformation de Galilée fait correspondre un point (x₁, y_1, z₁) d’un référentiel R₁ au point (x₂, y_2, z₂) du référentiel R₂ en translation uniforme par rapport à R₁.

En relativité restreinte, nous cherchons à faire correspondre par une transformation mathématique un quadruplet (x₁, y_1, z_1, t₁) caractérisant un événement observé dans le référentiel R₁ au quadruplet (x₂, y_2, z_2, t₂) caractérisant ce même événement observé dans le référentiel R₂ en mouvement de translation uniforme par rapport à R₁.

Écrivons cette transformation, supposée à première vue linéaire, de la façon suivante [1] :

x₂ = a₁₀ + a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁   

y₂ = a₂₀ + a₂₁x₁ + a₂₂y₁ + a₂₃z₁ + a₂₄t₁    

z₂ = a₃₀ + a₃₁x₁ + a₃₂y₁ + a₃₃z₁ + a₃₄t₁  

t₂ = a₄₀ + a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁  

Remarquons que les coefficients a_i0 correspondent à des translations des coordonnées. En utilisant l’homogénéité de l’espace, on peut toujours faire en sorte, par un choix judicieux des origines, que ces coefficients soient nuls; ceci revient à faire coïncider les événements origines (0,0,0,0) dans les deux référentiels. On obtient donc :

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₁x₁ + a₂₂y₁ + a₂₃z₁ + a₂₄t₁

z₂ = a₃₁x₁ + a₃₂y₁ + a₃₃z₁ + a₃₄t₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁

Par ailleurs, on peut, dans chaque référentiel, faire en sorte que les axes O₁x₁ et O₂x₂ coïncident avec la direction de translation; nous traduirons cette propriété en écrivant que si y₁ = 0 et z₁ = 0, alors y₂ = 0 et z₂ = 0. Alors,

y₂ = 0 = a₂₁x₁ + a₂₄t₁

z₂ = 0 = a₃₁x₁ + a₃₄t₁.

d’où

a₂₁ = 0

a₂₄ = 0

a₃₁ = 0

a₃₄ = 0 .

On peut encore faire pivoter les axes autour de O₁x₁ et O₂x₂ de façon que les directions O₁y₁ et O₂y₂ d’une part, et O₁z₁ et O₂z₂ d’autre part, soient parallèles deux à deux; à z₁ = 0 doit correspondre z₂ = 0 , et à y₁ = 0 doit correspondre y₂ = 0. Alors,

y₂ = 0 = a₂₂·0 + a₂₃z₁

z₂ = 0 = a₃₁y₁ + a₃₃·0.

d’où

a₃₂ = 0

a₂₃ = 0 .

Le système d’équations initial peut donc se réduire à :

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₂y₁ + a₁₃z₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₂y₁ + a₄₃z₁ + a₄₄t₁ .

Changeons enfin y₁ en –y₁, z₁ en –z₁, y₂ en –y₂ et z₂ en –z₂, les quatre autres coordonnées restant inchangées. Une telle transformation revient à faire tourner les axes de 180° autour de la direction de translation des référentiels qui coïncide avec la direction commune de O₁x₁ et O₂x₂. L’isotropie de l’espace veut alors que les formules de transformation restent inchangées; on en déduit alors que

a₁₂ = 0

a₁₃ = 0

a₄₂ = 0

a₄₃ = 0 .

En résumé, les propriétés générales d’homogénéité et d’isotropie de l’espace permettent de ramener les formules de transformation entre deux référentiels galiléens R₁ et R₂ en translation relative dans la direction commune de O₁x₁ et O₂x₂ au système [2]

x₂ = a₁₁x₁ + a₁₄t₁

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₄t₁ .

On admet enfin que les deux observateurs O₁ et O₂ règlent leur horloge de telle sorte qu’à l’instant t₁ = t₂ = 0 les deux observateurs sont confondus. Un signal lumineux est émis à cet instant par O₁.

D’après le système (2), on voit que x₂ est proportionnel à x₁ et à t₁. Or, la coordonnée de l’observateur O₂ (x₂ = 0 dans R₂) est égale à tout moment à une certaine constante fois (x₁-v_et₁) où v_e est la vitesse relative entre R₁ et R₂. En effet, pour trouver la position d’un événement dans R₂ , il faut prendre la différence entre la coordonnée de cet événement dans R₁ et la distance v_et₁ qui sépare les deux référentiels. Le système [2] devient donc [3]:

x₂ = a₁₁(x₁ – v_et₁)

y₂ = a₂₂y₁

z₂ = a₃₃z₁

t₂ = a₄₁x₁ + a₄₄t₁ .

Au moment où les deux observateurs sont confondus, un signal lumineux est émis de leur position commune. Pour O₁, l’équation de la sphère produite par la lumière qui se propage dans toutes les directions est

x₁² + y₁² + z₁² = c²t₁²

car ct₁ est la distance parcourue par la lumière (et, par conséquent, le rayon de la sphère).

On réarrange l’équation [4]:

x₁² + y₁² + z₁² - c²t₁² = 0

L’observateur O₂, même s’il s’éloigne de O₁, voit lui aussi la lumière se propager en une sphère dont il est le centre. En effet, d’après le second postulat de la relativité, la lumière se propage à une vitesse constante. O₁ et O₂ mesurent donc une même vitesse pour la lumière. Pour O₂, l’équation de la sphère est [5]

x₂² + y₂² + z₂² - c²t₂² = 0

 Il s’agit du même signal lumineux, émis à t₁ = t₂ = 0. On compare [4] et [5] pour obtenir [6]:

x₁² + y₁² + z₁² - c²t₁² = x₂² + y₂² + z₂² - c²t₂²

On obtient ainsi une relation entre les coordonnées de R₁ et celles de R₂. On substitue [3] dans [6] soit [7] :

x₁² + y₁² + z₁² - c²t₁² = a₁₁²(x₁ – v_et₁)² + a₂₂²y₁² + a₃₃²z₁² - c²(a₄₁x₁ + a₄₄t₁)²

On développe [7] et on obtient des termes en :

x₁² : 1 = a₁₁² – a₄₁²c²   [7.1]

y₁² : 1 = ±a₂₂   [7.2]

z₁² : 1 = ±a₃₃   [7.3]

t₁² : -c² = a₁₁²v_e² – a₄₄²c²   [7.4]

x₁t₁ : 0 = -2a₁₁²v_e – 2a₄₁a₄₄c²   [7.5]

On doit prendre 1 comme valeur des constantes a₂₂ et a₃₃ pour respecter l’orientation des axes que nous avons choisie (à un y₁ ou un z₁ positifs correspondent un y₂ ou un z₂ positifs). Ainsi,

1 = a₂₂   [7.2]

1 = a₃₃   [7.3]

D’après [7.1] :

  [7a]

Élevons [7.5] au carré :

a₁₁⁴v_e² = a₄₁²a₄₄²c⁴   [7b]

Substituons [7a] dans [7b] :

a₁₁⁴v_e² = (a₁₁² – 1)a₄₄²c²   [7c]

Réécrivons l’équation [7.4] :

a₄₄²c² = a₁₁²v_e² + c²   [7d]

Substituons [7d] dans [7c] :

a₁₁⁴v_e² = (a₁₁² – 1)(a₁₁²v_e² + c²)   [7e]

Développons [7e] :

a₁₁⁴v_e² = a₁₁⁴v_e² – c² + a₁₁²c² – a₁₁²v_e²

a₁₁²(c² – v_e²) = c²

  [7f]

En portant [7f] dans [3], on se rend compte que seule la solution positive est correcte, car on doit retrouver la transformation de Galilée pour v_e/c ® 0. Ainsi,

  [7g]

De même, en substituant [7g] dans [7d] et en développant, on trouve :

   [7h]

où on a pris la valeur positive pour la même raison que précédemment.

De la même manière, on obtient, en substituant [7g] et [7h] dans [7.5] :

  [7i]

On vient ainsi de résoudre le système d’équation [3]. Ce système s’appelle transformation de Lorentz :

  [8]

y₂ = y₁

z₂ = z₁

Ainsi, en relativité restreinte, la transformation de Lorentz transforme non seulement les coordonnées d’espace mais aussi la coordonnée de temps. C’est ce point qui est le plus remarquable par rapport à la transformation de Galilée qui était jusqu’alors universellement admise.

La première conséquence immédiate de la transformation de Lorentz est le fait que v_e ne saurait être supérieure à c, l’expression sous le radical devenant négative. Il existe donc une vitesse limite pour les mouvements des corps matériels : c’est la vitesse c de propagation des phénomènes électromagnétiques dans le vide.

D’autre part, la transformation (8) exprime les coordonnées d’un événement vu par le référentiel R₂ en fonction des coordonnées du même événement vu par le référentiel R₁. La transformation inverse, qui consiste à donner les coordonnées d’un événement vu par R₁ en fonction de celles du même événement vu par R₂ s’obtient soit par manipulation algébrique, soit encore d’une manière plus simple en considérant que R₂ est fixe et que R₁ se déplace à la vitesse –v_e par rapport à R₂. La situation étant alors parfaitement identique à celle qui a permis d’obtenir la transformation de Lorentz (8), nous pouvons l’utiliser en substituant –v_e à v_e. On obtient ainsi la transformation de Lorentz inverse :

  [9]

y₁ = y₂

z₁ = z₂

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À partir de la transformation de Lorentz (relation [8]), on peut obtenir les expressions donnant la transformation des vitesses.

En effet :

    [13]

et, finalement, la transformation du temps donne :

    [14]

On remarque que dy₂/dt₂ et dz₂/dt₂ sont des vitesses perpendiculaires à la vitesse v de translation des référentiels et qu’elles ont des expressions semblables. On les appellera v^ . dx₂/dt₂ est une vitesse parallèle à v et sera appelée v_||.

Réarrangeons [14] :

    [15]

En portant [15] dans [13], on obtient :

    [16]

et

    [17]

Ces relations s’inversent immédiatement en

    [18]

et

    [19]

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